3月末～4月は引越のトップシーズンです。
船橋市は交通アクセスが良いため会社員の人気が高い＆大学もあるので学生も多いです。
いい部屋があったら引っ越したい、で不動産屋行ってもいいんです。
不動産屋への支払いは契約時の仲介手数料くらいなのでお金を請求されることはありません。
引越予定時期がほぼ決まっているならもう動いてください。
会社員や学生にまだ内示も合格も出ていない今なら、希望条件の部屋ゲットや家賃交渉がしやすいです。

私はHomesで探すことが多いです。駅ごとに多い部屋の間取りと、各間取りの家賃相場が見られるサイトはここだけかと。
CMでやってる大和ハウスのシャーメゾン(外観おしゃれ)やお部屋探しmastの賃貸は、各ハウスメーカーのサイトから探せます。

船橋市民のままでも住民票は移してくださいね。
めんどうがって住民票を移さない人はいますが、災害時にその地域に住民票のある人しか助けてくれない可能性があります。
(その人がいるのか消防も警察も把握できない)