それはダメでしょう。全くの他人（お友達のお母さん）が作ったものを自分がつくった自由研究として出すのは盗作と同じです。
むしろ学校の先生に相談したほうが教育上いいのでは…と思いますがそれでは話がややこしくなってしまいますよね…。
子供の自由研究にノータッチでこのことを知らない親なら何が問題なのかと逆ギレされそうです。